Сам не пробовал, но по-моему так: создаете проект в личном кабинете (console.developers.google.com), получаете API ключ, через PHP (функция curl()) делаете запрос и получаете информацию о канале.
Если нужны примеры погуглите по запросу youtube api subscriber counter php
Идешь в API Youtube, ищешь метод list by username, вставляешь API ключ в запрос и ID пользователя и в ответе получишь количество подписок на канал, если не скрыто владельцем канала.