Скажите пожалуйста. Если квартира в залоге, можно ли в нее прописать родственника?

А почему нельзя? И продать заложенную квартиру даже можно.
А вобще-то почитайте договор. Если там нет никаких запретов и согласований - можете прописывать.

Да.

Да, можете зарегистрировать ,

прописать можно