Помогите решить, скоро контрольная и мне нужно поскорее подготовится. Там будет этот пример.

S- знак интегралла, sqrt - корня

типичные примеры из начальных тем про интеграллы
------------------------------------------------------
------------------------------------------------------
a)
S (5/(x^2) - 10/(x^(3/4)) + 3*(x^9)-4) dx

решение даннго интегралла основано на свойстве интегралла

интегралл суммы равен сумме интегралов
(небольшое пояснение от автора)
A-B = A+(-B)
значит интегралл разницы равен разнице интеграллов

воспользуемся этим свойством:

S (5/(x^2) - 10/(x^(3/4)) + 3*(x^9)-4) dx =

S (5/(x^2))dx - S(10/(x^(3/4)))dx + S(3*(x^9))dx - S(4)dx

далее используем свойство интегралла:

S (C*f(x))dx = C* S(f(x))dx

или русскими словами константу можно выносить за знак интегралла

и следующее свойство 1/x = x^(-1)

S (5/(x^2))dx - S(10/(x^(3/4)))dx + S(3*(x^9))dx - S(4)dx =

5* S (x^(-2))dx - 10 * S(x^(-3/4))dx + 3*S(x^9)dx - 4*S dx =

следует заметить что получились лишь табличные интеграллы

S (x^n) dx = (x^(n+1))/(n+1) +C
S () dx = x+C

=> 5* S (x^(-2))dx - 10 * S(x^(-3/4))dx + 3*S(x^9)dx - 4*S dx =

-5/x - 40 * x^(1/4) + 0,3*x^10 - 4x + C

расскрытие интеграла завершено.

------------------------------------------------------
------------------------------------------------------
b) S (3*x/(9*(x^2) +2))dx
данный интегралл будет решаться методом занесения под диференциао
однако для этой операции нужно провести определённые манипуляции

поясню как я это понял ( на самом деле это прийдет с опытом, но я постараюсь объяснить)

мы видим что в числителе х а в знаменателе x^2 (на коэфициенты при них мы не обращаем внимание, наша задача потом будет от них избавиться)

так как производная x^2 это 2x, то занесение 2x под диференциал даст x^2+C

приведем дробь к такому виду

разделим и числитель и знаменатель на 9

S (3*x/(9*(x^2) +2))dx = S ((x/3)/((x^2)+(2/9)))dx знаю что скобки сбивают но без них вы окончательно запутаетесь

шаг 2

вынесем 1/3 за знак интегралла

(1/3)*S (x/(x^2+2/9))dx однако для получения x^2 под знаком диференциала у х отсутсвует коэфициент 2

для его получения поступим след образом

2*(1/2)*(1/3)*S (x/(x^2+2/9))dx = (1/2)*(1/3)*S (2*x/(x^2+2/9))dx = (1/6)*S (2*x/(x^2+2/9))dx

заносим 2х под знак диференциала

(1/6)*S (1/(x^2+2/9))d(x^2+C)

C- это костанта и она может принимать значение 2/9 =>(1/6)*S (1/(x^2+2/9))d(x^2+2/9)

теперь обозначим для простоты x^2+2/9 за t

(1/6)*S (1/t)dt получили табличный интегралл

(1/6)*S t^(-1)dt = ln |t| + C = ln |x^2+2/9| +C = ln (x^2+2/9) + C

Интеграл расскрыт
------------------------------------------------------
------------------------------------------------------
боюсь не помещусь в заданые рамки на ответ поэтому напишу указания:

с) здесь вам нужно применить формулу интегрирования по частям u-x dv - cos(2-x)

d) воспользуйтесь формулой понижения степени sin^2(x) = (1-cos(2x))/2

а дальше ничего сложного вынесите 1/2 за интегралл и у вас получится два простых интеграла (во втором вам нужно домножить и поделить на 2)
и занести 2 под диференциал

e) последний интегралл давольно интересен

обозначим sqrt(x) за t

x = t^2
dx = 2tdt

S 2tdt / (t^2+4t) = S 2tdt /(t*(t+4)) = S 2/(t+4) dt = 2* S(1/(t+4)dt = 2* S(1/(t+4)d(t+4) = 2* ln (t+4) +C = 2* ln (sqrt(x)+4) +C

Вам останется лишь посчитать площадь по формуле ньютона лейбница

жду вопросы в комментарии если что не понятно:)