Так всё-таки, сколько времён в английском языке? 12,16 или 24?

В английском, как и во всех языках мира, 3 времени: настоящее, прошедшее и будущее. И 16 видовременных форм. Обратите внимание: "видовременной" пишется слитно. Залог к видовременным формам отношения не имеет. Он никак не влияет на время и вид глагола, это совершенно другая категория. Не надо всё валить в одну кучу. Если в голове всё не будет разложено по полочкам, то язык не выучить.

В английском либо 3 времени, если мы рассматриваем только временные промежутки; либо 12, если мы рассматриваем временные формы.
Пассивные и активные залоги не несут в себе никакой временной нагрузки. Иными словами, "книга была напечатана ими" и "они напечатали книгу" - это одно и то же, а they print books, they are printing books, they have printed books, they have been printing books - разные вещи: это временные формы, которые рассматривают отрезки времени с разных точек зрения. В залогах меняется лишь подлежащее, т. е. вопрос "кто что с чем сделал?", а не форма времени.
Правило согласования времён тоже не создаёт отдельные временные формы. Оно лишь влияет на них. Это как взять хлеб и посолить - тот же хлеб, но солёный. Тут так же. Было будущее время, его поместили в прошлое, и стало future-in-the-past - то же будущее, но "солёное". Но эту метафору нельзя применять на второй абзац, потому что каждая временная форма - это разный "продукт", а не "хлеб", который как-то изменили.

Иллюстрация к ответу Андрея Козлова:

В английском языке три времени:

— Present (настоящее),
— Past (прошедшее),
— Future (будущее).

У этих времен есть четыре аспекта:

— Simple (Indefinite) — простой;
— Continuous (Progressive) — длительный;
— Perfect — совершенный;
— Perfect Continuous — совершенный длительный.

Таким образом, в английском языке 12 временных форм.

Кроме того, у английских глаголов есть залог (voice): active (активный) и passive (пассивный).