Помогите понять теорему Больцано Вейерштрасса

Question

Помогите понять теорему Больцано Вейерштрасса

serg morley Ученик (93), закрыт 3 года назад

Доказательство начинается в таком ключе: Последовательность ограничена, следовательно все ее элементы заключены в некоторый отрезок. Мы этот отрезок делим пополам, получается что хотя бы в одной из частей находится бесконечное количество элементов последовательности. И повторяем это действие так далее. На этой части доказательства я уже выпал из игры.

Чтобы разобраться, беру последовательность An: 0, 1, 0, 1, 0, ..- она ограниченная, значит с ней все должно получиться. Отображаю ее на числовую ось и ограничиваю, получается отрезок на котором всего две точки-элемента - 0 и 1. Ну делю пополам, только какую часть выбрать не понимаю. Где тут бесконечное количество элементов? Ведь сказано что хотя бы с одной стороны должно быть бесконечно элементов. А тут же всего один, я не понимаю...

Дополнен 3 года назад

Как оказалось, в нормальных доказательствах, как например то которое приведено Зоричем, уточняется, что есть два возможных сценария. Первый если множество значений огр. последовательности бесконечно - и это то что все доказывают делением отрезков. И второй, когда это множество конечно. В этом случае не надо ничего делить, мы просто берем любую точку из этого множества и говорим, что подпоследовательность Xn1=Xn2=... при n1<n2<....то есть подпоследовательность сходится в силу того что постоянная. Не надо ничего делить.
Терпеть не могу преподов самодуров которые опускают такие важные вещи потому что "ну это тривиальный случай всем и так очевидно" - нет твари !! ни разу не очевидно, гори оно в аду

Answer 1

a₁ =0, a₂= 1, a₃=0, a₄=1,...

Значит, элементы повторяются. Когда делите отрезок пополам в первый раз - процесс закончен: в одной половине у вас подпоследовательность (0,0,0,...), а во второй (1,1,1,...) :)

Answer 2

Я о такой в первый раз слышу. Ее вам препод придумал, что б занять вас, ведь он сам не понимает темы. У нас такой же был, тоже нихера не понимал по своему предмету и заливал про какую то теорему Вейерштрасса. Это все заговор преподов, никакой теоремы нет, спи спокойно.

Answer 3

Ну ты выбираешь скажем 0. И у тебя беск число элементов, равные нулю.