Небесная механика. Задача двух тел.

Question

Небесная механика. Задача двух тел.

Александр Шульман Ученик (130), закрыт 2 года назад

Через какое время столкнутся две материальные точки (их размер стремится к нулю, но не равен ему) массой по m каждая. Расстояние между точками R. Начальная скорость и ускорение точек равны 0. Точки находятся в безвоздушном пространстве, на них не действуют никакие внешние силы. При взаимодействии точки движутся точно по одной общей прямой.
По выведенной формуле решить задачу используя следующие данные
Два шара радиусом r=0.001м; массами m1=m2=1кг; на расстоянии R=1м; G=6,6743*10⁻¹¹м³·кг⁻¹·с⁻²
Получить ответ с точностью до 0,1сек
{Ответ находится в области 95000 ~ 97000 секунд}

Answer 1

По третьему (уточненному) закону Кеплера период обращения двух тел относительно общего центра масс
T^2=4π^2*a^3/[G(M+m)], где а - большая полуось эллипса, М и m - массы тел (у вас они одинаковы). Можно считать, что материальные точки движутся по вырожденному эллипсу, большая полуось которого a=R/2, а малая b=0. Встретятся м. т. через половину периода, т. е. t=T/2.
У меня получилось 96136,2 с.

Answer 2

Василий Пктров Искусственный Интеллект (107416) 2 года назад

Через которое приблизятся

Answer 3

Решай сам по подсказке (на самом деле это практически полное решение):

Описанное движение можно представить как предельный случай движения по эллиптической орбите от апогея до перигея (т. е. по половине эллипса) при стремлении отношения длин осей эллипса к 0.

Тогда на основании 3-го закона Кеплера можно сделать вывод, что время движения будет равно половине периода кругового обращения таких же тел, находящихся на расстоянии R/2 друг от друга, вокруг их ЦМ.
А эта величина уж совсем легко считается.

Ответ π*√(R³/(32*G*m))≈67 978.6 с.

Но решение приведено для случая r→0.
А в условии противоречие - r и стремится к 0, и тем не менее одновременно имеет конечное значение 1 мм.
Если действительно 1 мм, то из потенциальной энергии при касании получаем кин. энергию → скорость. При дальнейшем движении, если бы r=0, скорость была бы только больше, отсюда можно получить оценку сверху для продолжительности этого дальнейшего движения. Но вроде бы она не уложится в 0.1 с.

Answer 4

Решать простейшие дифуры уже никто не может?

Answer 5

... Просветленный (24570) 2 года назад

Небесная механика....
Звучит возвышено.