Когд забираешь животное из приюта/у волонтера, надо подписывать договор. Какие его условия и обязательства?

Если когда сдавал был договор

все эти договора никакой юридической силы не имеют. а условия могут быть абсолютно разными - вплоть до абсурдных. в тот момент, когда вам передают животное, оно становится вашей собственностью. а договор - это как бы если бы вы заключали договор об ответственном и бережном использовании обуви при покупке в магазине - ну смешно же))) кстати, точно так же покупают породистых животных - хозяина никто не может обязать выставлять, вязать или не выставлять и не вязать его животное. к сожалению, содержать достойно никаким договором оговорить нельзя...

В договоре пишут все, на что фантазии хватает, но юридической силы никакие обременения не имеют

Абсолютно любые, в основном - обязательная стерилизация, ответственное отношение к животному, уход за ним, правильный выгул и т. д.