Почему в физике величины разных размерностей умножаются, но не складываются?

Потому что действия с физическими величинами в физике подчинены правилам действия с одночленами, если представить физическую величину как произведение числа на единицу измерения, где первое - это коэффициент, а второе - буквенная часть.

Одночлены можно перемножать, перемножая отдельно коэффициенты (числа) и буквенные части, при этом в произведении тоже получится одночлен. То же - и с физическими величинами.

Некоторые физические величины при перемножении будут иметь конкретный физический смысл. Так, если приложить к телу постоянную силу в 1 Н и за счёт неё передвинуть это тело на 1 м в направлении действия этой силы, то при этом будет совершена работа в 1 Н*м или 1 Дж. Кроме того, при изменении либо прикладываемой силы, либо перемещения тела, совершаемая работа изменяется пропорционально (например, если силу увеличить втрое, а перемещение - вдвое, то работа увеличится в 6 раз), поэтому здесь имеет смысл говорить о произведении физических величин разных размерностей и, как следствие, о произведении самих размерностей.

Но вот складывать ни физические величины разных размерностей, ни сами эти размерности (например, те же ньютоны с метрами) нельзя, потому что физического смысла у такой операции нет, даже если просто записать в виде многочлена такую сумму. Она просто не будет соответствовать никакому физическому понятию или объекту.