Зачем учить таблтцу квадратов?

Она нужна не для зубрежки, а для быстрого нахождения квадрата числа.
Если вы хотите считать квадраты в уме, то это делается без таблицы.

Например, чему равно 63²?
Нам легко посчитать квадрат ближайшего круглого числа — 60.
60 = 6 • 10
60² = 6² • 10² = 36 • 100 = 3600

Теперь посчитаем квадрат суммы по формуле:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
В нашем случае a = 60, b = 3.

63² = (60 + 3)² = 60² + 2 • 60 • 3 + 3² = 3600 + 360 + 9 = 3960 + 9 = 3969

Всё, и никаких таблиц не надо.