Откуда известна точная дата основания Рима

Ниоткуда она не "известна". :)

День фигурирует в легенде о Ромуле, основателе Рима. В легенде говорится, что капитолийская волчица нашла брошенных на произвол судьбы младенцев Ромула и Рема в день праздника Палес (италийской богини скотоводства). И этот день считается днем основания Рима.

А вот год -- сильно более спорное дело... За 753 год до этой вашей эры агитировал Тит Помпоний Аттик, банкир и антиквар, живший в первом веке до этой вашей эры. С этой датировкой согласился его влиятельный в ученых кругах современник Марк Теренций Варрон, на работы которого в свою очередь опирался Плиний-старший. Прочие (включая европейских историков эпохи Возрождения) в какой-то момент просто согласились с авторитетом. Но были и другие мнения.

Официальная древнеримская хронология, Fasti Capitolini, считала, что Рим был основан в 752 году до этой вашей эры. У Дионисия Галикарнасского, который работал в правление Октавиана Августа, есть целый список альтернативных дат, их пропонентов и аргументов, которые пропоненты предлагали в поддержку своей точки зрения. Сам Дионисий считал годом основания Рима первый год седьмой олимпиады (752-751). Самая ранняя дата в списке Дионисия -- 814-813, самая поздняя -- 729-728.

Причем практического значения все это не имело абсолютно никакого, поскольку римляне не нумеровали года, а давали им имена -- в период республики в Риме ежегодно избирали двух консулов, и год, в течение которого они правили, получал их имена. С установлением империи годы начали нумеровать, но в рамках правления того или иного ымпиратара (типа "в пятнадцатый год правления императора Тиберия").