Какие предметы надо сдавать на Веб-программиста

Прежде чем куда то поступить совет тебе, узнай учат ли там чему то вообще или нет, если нет смело учи сам дома все.

Я бы спросил у последнего курса чему их научили и есть ли у них свои сайты.

Сам учился в уч заведении ничему не учили, даже если учили то точно не своей профессии, и программистами называли тех кто просто сидит за компьютером.

Мне любые можешь сдать, а можешь бабки дать и все.

сдать на веб программиста? куда? в учеб заведение там и спрашивай.

Работадателю портфолио или ответы на их вопросы и решение их задач.
Конечно можешь и сам создать какую ни будь новую соц сеть или даже просто программку которая работает в вебе и продавать ее.
Работать на себя и никому ничего сдавать не придется.

Таких предметов наверно нету вообще.

Основы которые нужно учить вот эта Верстка CSS HTML SVG и так далее.
Но там есть 2 варианта, один работает на сервере, в сайте внутри, другой работает в браузере, типа сторона клиента.
Называются вроде Fronted web и backend web я не знаю точное их название, но загуглив Fronted или Fronted web найдешь.
Но скорее всего Fronted на стороне клиента занимаются только Внешним видом сайта, а Backend пишут программы функции для сайта, тебе нужно знать чего ты хочешь, может ты обе стороны осилишь зависит от твоего желания.

Сдавать на веб это все таки тебе нужно найти такое учебное заведение где учат на веб программиста, да и что туда сдавать нужно будет кроме денег ?
НИЧЕГО!

Если ты учится собираешься платно, зачем твои знания или ЕГЭ или еще что то заведению ?