Как доказать, что рациональные числа не удовлетворяют аксиоме непрерывности?

Да, корень из 2 очень хорошо подходит в качестве примера. А само доказательство простое.

Рассмотрим множество всех рациональных чисел и разобьём его на два подмножества. В первое (обозначим А) включим все отрицательные рациональные числа, ноль и все положительные рациональные числа, квадрат которых меньше 2, а во второе (обозначим В) включим все положительные рациональные числа, квадрат которых не меньше 2.

Тогда очевидно, что:

- любое рациональное число принадлежит одному и только одному из этих множеств;
- любое число из множества А меньше любого числа из множества В.

Согласно аксиоме непрерывности, должно существовать разделяющее их число, т. е. такое число с, что a < c <= b, где a - любой элемент из А, b - любой элемент из B.

Между тем, такого числа не существует, так как единственным таким числом может быть только само число √2, а оно не является рациональным. Действительно, каким бы близким к √2 мы ни взяли рациональное число a, найдётся рациональное же число a', которое ещё ближе, но остаётся меньше его, т. е. a < a' < c. То же самое - и c b. Значит, аксиома непрерывности для рациональных чисел не выполняется.