Неравенство с двумя корнями
Пусть задано неравенство а/с <= х <= (а-1)/(с-1) (1); все величины натуральные числа, c >1. Необходимо определить, при каком соотношении а, с и х неравенство (1) будет иметь один-единственный корень.
Эта задача решена (вопрос 226447402): сх-(х-1) <= а <= сх (2). Есть и равносильное, но более сложное решение: [(2с-1)х-с+1]/2 < а < [(2с-1)х+с] /2 (3).
Теперь вопрос поставим иначе. При каком соотношении тех же величин неравенство (1) будет иметь ровно два корня?
Например, чтобы иметь корни х1= 4, х2= 5 д. б.: 1) а= 12, с= 3 или 2) а= 16, с= 4. Мои проверки показали, что при любых других значениях а и с требование вновь поставленной задачи вроде не соблюдается. Но как решить это в общем виде, аналогично (2) или (3)?
Сам пока не справился.
Я хотел бы, чтобы задача была понята в таком смысле. Задаются значения с и меньшего из корней х1; разумеется, х2= х1+1. Необходимо определить всевозможные значения а, притом заранее неизвестно, кратно ли оно числу с или нет.
Только-что получил вроде такой ответ, который проверил только для с= 3 и х1= 4 (а получается равным 11 и 12):
(с-1)х1+с <= а <= сх1.
ну, расстояние d = (а-1)/(с-1) - a/c можно записать так:
d = (a/c-1)/(c-1)
если нужно два корня, то надо смотреть a/c - если оно целое, то нужно требовать d < 2, иначе 2 < d < 3
получается, нужные а и с - решения уравнения
a = (с^2 - с) d + с
с неким в общем случае нецелым параметром d = m/n
следовательно, чтобы a было целым, надо, чтобы n было делителем числа с^2 - с.
для a, делящегося на с, решение, зависящее от трех параметров, выглядит так:
задаем c = 3
берем любой делитель числа 3^2-3 = 3*2, например, n=2
к нему выбираем m такой, чтобы m/n < 2, например, m=3
получаем второе число: a = 12
В Exel составить трёхмерную таблицу - программа всё сосчитает, правда в таблице надо ещё найти нужные ответы :-))