Помогите решить задачу по математике

Question

Помогите решить задачу по математике

Елена Ученик (6), закрыт 2 года назад

Внутри большого треугольника периметра 180 провели несколько отрезков, которые разделили его на девять меньших треугольников, как показано на рисунке. Оказалось, что периметры всех девяти маленьких треугольников равны между собой. Чему они могут быть равны? Укажите все возможные варианты.

Периметр фигуры — сумма длин всех её сторон.

Если ответом являются несколько чисел, то они вводятся все — каждое число в отдельное поле ввода в произвольном порядке.

Answer 1

У племянницы только что попалась аналогичная задача в олимпиаде.
Моё решение было такое.
Если фигуру разбить на несколько фигур, то сумма периметров этих фигур равна периметру исходной фигуры плюс удвоенная сумма отрезков разбиения (в этом можно убедиться на примере обычного четырёхугольника, разбив его на два треугольника).

Мы видим, что внутри большого треугольника расположены три маленьких, стороны которых не являются сторонами других треугольников). Т. к. периметры всех треугольников равны, то если один периметр обозначить через Р, то сумма периметров этих трёх треугольников равна 3Р. Они и являются отрезками разбиения большого треугольника. Сумма периметров девяти маленьких треугольников равна 9Р, а периметр большого по условию 180. Поэтому имеем уравнение:

9Р = 180 + 2*3Р
9Р = 180 + 6Р
3Р = 180
Р = 60.

Наверное, время олимпиады уже вышло (

Answer 2

Квадратный торт периметром 100 см поделили двумя прямолинейными разрезами на четыре одинаковых кусочка, каждый периметром 58 см. На картинке изображен торт, разрезы и отмечены равные отрезки. Чему равна длина разреза XY? Ответ выразите в сантиметрах.

Answer 3

Решал следующим образом: внутренним отрезкам (не являющихся частью сторон большого треугольника) задаем буквы a,b,c,d,e,f,g,h,k; периметр одного маленького треугольника принимаем за X. 6 треугольников имеют общие стороны с большим треугольником. Соответственно, если из суммы периметров этих шести треугольников вычесть длины сторон, не являющихся частями сторон большого треугольника, то мы получим общий периметр равный 180.
Запишем уравнение:
6X-a-b-c-d-e-f-g-h-k=180
6Х-( a+b+c + d+e+f + g+h+k)=180
6X - (X+X+X)=180
X=60