Можно ли выбегать на чужое поле в волейболе

Да, можно. Я волейболом хоть и не интересуюсь, но я когда смотрел аниме "Волейбол", то там так делали 1 раз, но в каком сезоне не помню, выглядит круто, главное не забегать на чужое поле, в аут как я понял можно.

Как это

Это известная ситуация и очень подробно расписанная в "Правила вида спорта "волейбол" (утв. приказом Минспорта России от 01.11.2017 N 948), а именно в разделе 10.1 МЯЧ, ПЕРЕСЕКАЮЩИЙ СЕТКУ
"10.1.1 Мяч, посланный на площадку соперника, должен пройти над сеткой
в пределах площади перехода. Площадь перехода – это часть вертикальной плоскости сетки, ограниченная следующим образом:
10.1.1.1 снизу – верхним краем сетки;
10.1.1.2 по бокам – антеннами и их воображаемым продолжением;
10.1.1.3 сверху – потолком.
10.1.2 Мяч, который пересек плоскость сетки в свободную зону соперника
полностью или частично через внешнюю площадь, может быть возвращен без нарушения количества ударов команды, при условии что:
10.1.2.1 не было касания площадки соперника игроком;
10.1.2.2 возвращаемый мяч пересекает плоскость сетки вновь полностью
или частично через внешнюю площадь на той же стороне от
площадки.
Команда соперника не может препятствовать такому действию.
10.1.3 Мяч, который направлен на площадку соперника через нижнюю площадь, находится в игре до момента, когда он полностью пересечет вертикальную плоскости сетки".
В Книге прецедентов судейства 2020 Комиссия ФИВБ по Судейству и Правилам Игры содержится также подробное описание конкретных игровых ситуаций с приложением их в оцифрованном видео формате (Ссылка, к сожалению не проходит).
Если мяч пересекает линию над сеткой между антеннами, то право игры с ним возникает у игроков той половины площадки на которую перелетел мяч.
Если мяч перехватывается в это время игроком другой команды, то это считается помехой. Очко засчитывается команде на той стороне площадке, на которую перелетел мяч. Они также осуществляют следующую подачу.

В такой ситуации да, можно пробежать под сеткой НЕ НАСТУПАЯ НА ИГРОВОЕ ПОЛЕ ПРОТИВНИКА, то есть сейвящий игрок бежит по зоне аута противоположной команды и он должен вернуть мяч на свою половину так, чтоб мяч не пролетел над игровым полем сетки (которое между антеннами) и затем своя команда мяч доигрывает.
То есть на половину зала соперника забегать можно, но на площадку наступать нельзя.
Такая же ситуация при ударе, когда игрок бьёт мяч и забегает на сторону противника после приземления, но сделать в пределах правил он это может только если сначала мяч коснулся поля, а потом он забежал.