Объясните теорему пожалуйста
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон,заключащих равные углы
Надеюсь, ещё не поздно
Давай обозначим один из треугольников как ABC, а второй -- как AFG, и пусть их общий угол будет равен α
Вообще обычно описанную теорему объясняют на чертеже, где мы совместили эти треугольники равными углами, тогда точки F и G окажутся на лучах AB и AC соответственно (теорема верна и в отрыве от этого чертежа, когда треугольники расположены как угодно, просто это стандартная картинка, поэтому я её и рисую)
Площадь треугольника ABC по формуле через синус равна
S(ABC) = 1/2 * AB * AC * sin(α)
Площадь треугольника AFG по формуле через синус равна
S(AFG) = 1/2 * AF * AG * sin(α)
Тогда, если поделить одно уравнение на другое, получаем как раз утверждение теоремы (формула в чёрной рамочке на рисунке):
S(ABC) / S(AFG) = (AB * AC) / (AF * AG)
Это означает ровно то, что площади треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы:
равные углы α = BAC = FAG заключают пара сторон AB и AC (выделены синим на первом рисунке) у треугольника ABC (синего) и пара сторон AF и AG (выделены красным на втором рисунке) у треугольника AFG (красного), поэтому площади треугольников относятся как их произведения
Доказательство теоремы о том, что если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы:
Совместим треугольники таким образом, чтобы совпал равный угол.
Соединим концы отрезков, которые являются сторонами прилежащих к этому углу треугольников. Получим новый треугольник, один угол которого такой же, как равные углы исходных треугольников, а стороны, прилежащие к этому углу, — это отрезки. Пусть площадь этого треугольника равна S₃.
Построим две высоты треугольника S₃: одна высота h₁ перпендикулярна стороне c, а вторая h₂ перпендикулярна прямой, содержащей сторону b.
Легко заметить, что высота h₁ одновременно является и высотой для треугольника площадью S₁. Тогда отношение площадей S₁ и S₃ равно отношению длин сторон a и c.
В свою очередь, высота h₂ также является высотой для двух треугольников площадью S₂ и S₃. И отношение этих площадей такое же, как отношение длин сторон d и b.
Выразив площади S₁ и S₂ через произведение площади S₃ и отношения соответствующих сторон и записав выражение для отношения площадей S₁ и S₂, мы получаем, что эти площади относятся как произведения сторон, прилежащих к равному для обоих треугольников углу.
САМОМУ ЗАВТРА СДАВАТЬ!!!
впервые об этом слышу!
