Названия праздников пишут с большой буквы, но тут не праздник, а событие, поэтому, все слова с маленькой буквы. Но если вы хотите показать, что "Первый день зимы" -- это праздник, тогда первое слово в названии праздника пишут с большой буквы.
Примеры:
Поздравляю вас с первым днем на новом месте!
[Марина Полетика. Однажды была осень (2012)]
В день коронации 5 апреля 1797 года, совпавшим с первым днем Пасхи, он был возведен в баронское достоинство и сделан александровским кавалером.
[Н. Э. Гейнце. Аракчеев (1898)]
Большинство стран отмечает Новый год 1 января (Википедия).
