Как сохранить иллюстрацию, если она выходит за края монтажной области в Adobe Illustrator?

Не вполне поняла, вы хотите, чтобы Санта Клаус был на картинке целиком?
Расширяйте монтажную область инструментом "монтажная область" или уменьшайте фигурку, как и написали выше.

Из скринов не ясно, что за тёмная тень остаётся на прежней границе. Хорошо бы посмотреть, что там в палитре слоёв. Похоже на лежащий сверху прямоугольник с эффектом затенения по краям. Но на этой тёмной границе и само изображение искажается, появляется дополнительный объём... Трансформация дубликата по сетке?

Видимо, верстаете чужое изображение, если не в курсе, какие эффекты применены. Изучайте палитру слоёв и палитру свойств объекта. Смотрите, что там за объекты и какие у них свойства — эффекты, способы наложения, прозрачность, маски... Разгуппируйте группы, если нужно.
Когда не понятно, что происходит, всегда нужно лезть в слои и изучать структуру объектов.