Подругу можно назвать другом? Мне кажется, у слова «друг» нет половой принадлежности

Слова "друг" и "подруга" являются, конечно, лексически и структурно парными. Если мужчина - то друг, если женщина - то подруга. Это не морфологический, а фактический род. Подобные родовые и смысловые согласования очень характерны для русского языка, но приставка "по-", появление которой и вызывает как бы недоумение, имеет здесь оттенок значения "та, с которой мы подружились". Но не дружили всегда, не дружили "с самого начала". Это подчёркнутая производность - и морфемная, и смысловая. Как "брат" и "побратим", например. Подруга - это "названная другом", в моём понимании.
Итак, существительное "друг", относясь к мужскому роду, имеет традиционное семантическое право на своеобразную "первородность". Поэтому само слово звучит более чётко, лаконично, ёмко - в принципе, другом называют порой и женщину, за особые заслуги в дружбе. А "подруга" - это нечто приобретённое, как мне видится. Поэтому у слова "подруга" отсутствует суффиксальная часть, которая могла бы добавить экспрессии, но есть префиксная - она придаёт дополнительную соответствующую семантику, описанную выше.
Слово "друг", скорее всего, древнее слова "подруга", оно пришло в древнерусский язык, а также в ряд других языков, из несохранившегося древнеславянского языка (не путать с церковно-славянским) ­. Соответствующее ему слово женского рода "друга" исчезло из употребления.

Но в любом случае "друг" и "подруга" имеют общее происхождение.

Были и другие родственные слова. Например, слово "дружина" было более многозначным, чем сейчас, оно означало прежде всего товарищей, спутников, а также общину, дружину, войско.

Слово "дружитися" (дружуся, дружатся и т. д.) - быть в дружбе - исчезло (точнее, исчезли буквы "ся", мы теперь просто говорим "дружить"), а "подружиться" - есть такое слово.

Трудно сказать, какова смысловая нагрузка букв "по", ведь в древности большой разницы между словами "друг" и "подруг", "друга" и "подруга" не было, только некоторые значения слов не совпадали.