Какие уравнения в математике считаются самыми сложными?

вот разбирайся
Тензорные стохастические разностные уравнения
, (1.1)

где - СП независимых гауссовских случайных величин с нулевыми средними и единичными диспесиями; и - тензоры ранга 2n с двумя групповыми индексами и ; - ограниченные области n-мерного пространства -точек с целочисленными координатами. Заметим, что в соответствии с правилами умножения тензоров [22]

,

т. е. производится суммирование по одинаковым нижним индексам. При этом верхний индекс t соответствует дискретному времени и означает номер сечения (кадра) СП; суммирование по нему не производится.

Рекуррентное соотношение (1.1) определяет, вообще говоря, неоднородное и нестационарное гауссовское марковское СП на прямом произведении . При этом свойство марковости СП устанавливается относительно сечения Гt0=, разделяющего СП на “прошлое” и будущее . Действительно, условные плотности распределения вероятностей вероятностей (ПРВ) с учетом (1.1) могут быть записаны в виде, что и устанавливает марковость СП относительно граничных значений .

При заданных тензорах и внутрикадровых ковариациях начального кадра модель (1.1) полностью определяет в дискретном времени СП на n-мерной сетке . Для того, чтобы убедиться в этом умножим левую и правую части (1.1) на и найдем математические ожидания. После выполнения элементарных операций получим рекуррентную связь между тензорами внутрикадровых ковариаций и в виде:

(1.2)

Аналогично, после умножения (1.1) на, находим следующее соотношение

(1.3)

для определения тензоров межкадровых ковариаций.

В стационарном случае, когда , ,все корни характеристического уравнения лежат внутри единичного круга и соответствующим образом выбран тензор начальных условий, модель (1.1) порождает СП с постоянными значениями и . При этом тензор внутрикадровых ковариаций может быть найден с помощью формулы (1.2), которая преобразуется в систему линейных уравнений

. (1.4)

После решения этой системы относительно легко находится тензор внутрикадровых ковариаций: .

Таким образом, при заданных параметрах модели (1.1) можно с помощью приведенных соотношений решить задачу анализа, т. е. задачи нахождения вероятностных характеристик гауссовского марковского СП .

Рассмотрим теперь решение задачи синтеза модели (1.1), т. е. задачу нахождения тензоров и при заданных тензорах внутрикадровых и межкадровых ковариаций. В этом случае (1.3) представляет собой систему линейных уравнений относительно неизвестных элементов тензора . После решения этой системы каждый тензор может быть найден с помощью представления симметричного тензора (1.2) в виде произведения на основе, например, ортогонализации Грама-Шмидта.

Рассмотрим некоторые частные, но важные для приложений случаи СП, порождаемых уравнением (1.1). Предположим, что стационарное СП имеет ковариационную функцию (КФ) следующего вида

, (1.5)

где – коэффициент корреляции между соответствующими элементами и двух соседних кадров СП. В этом случае и уравнение (1.1) перепишется в виде

. (1.6)

имхо, самыми сложными являются некорректные задачи:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Корректно_поставленная_задача
это всякие теории хаоса, турбулентности прочая подобная ботва - просто потому что и аналитически их не решить, и численно тяжело из-за большой чувствительности к погрешностям начальных данных:
https://youtu.be/U7SLv0ePWU0

Сложность - количество операций получения решения. Сложность помотрите напр. https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/767832
Можно примерно сказать, что "самые сложные" - это такие, что их бессмысленно решать ибо потребуется бесконечное количество операций, бесконечное время на решение.
Или, как с самым большим числом, нет таких задач.

10 сложнейших математических задач, с которыми академики бьются и по сей день https://www.popmech.ru/science/510082-10-slozhneyshih-matematicheskih-zadach-kotorye-ostayutsya-nereshennymi/

Вот попробуй расчитать удобную траекторию движения в пространстве для машины времени из какого-то фантастического фильма, с учëтом что Земля постоянно вращается по своей оси и вокруг Солнца. А Солнце- вокруг центра галактики. И если ты просто вернëшся в ту же точку пространства, в которой был, но на пять минут назад, то окажешься как минимум в другой точке Земли ( возможно посреди океана), а в худшем случае- в верхних слоях атмосферы или в открытом космосе. Поэтому нужно ещё телепортироватся не только во времени, но и в пространстве. Так что ПОПРОБУЙ расчитать нужную траекторию. ЭТО ОЧЕНЬ СЛОЖНО.