Для чего нужны кватернионы?
Для чего они нужны, почему мы не можем сделать поворот просто умножив на матрицу поворота?
Как исторический артефакт. Комплексные числа вполне можно заменить на вектор или матрицу. Многие конструкции используют в силу традиции или удобства. Кватернионы непривычны и неудобны.
Кватернионы с вычислительной точки зрения удобнее триганометрии в некоторых приложениях. И это мощная хрень при решении диффуров в пространстве. А вообще - это одно из расширений чисел, и изучется в частности из-за фундаментального интереса, а не потому что оно для чего-то понадобилось.
Удобно, когда у тебя помимо умножения есть согласованные с ним сложение и умножение на скаляр. Т. е. ты по-любасу группу вращений вкладываешь в линейное пространство, точнее, в ассоциативную алгебру - что в случае с матрицами, что с кватернионами.
Матрицы 3х3 дают тебе девятимерную алгебру над R, а кватернионы - всего лишь четырехмерную.
Ну, чтоб ты не думал только о вращениях, можно и что-нибудь весьма странное вапомнить - например, теорема Лагранжа о четырех квадратах из теории чисел очень красиво доказывается через целочисленные кватернионы.
А вообще, векторы E3 интуитивно легко представляются кватернионами, вращения - тоже интуитивно легко. А дальше совсем клёво, но не интуитивно - вращающий кватернион ("версор") задает внутренний автоморфизм тела H, который при действвии на кватернион-"вектор" как раз этот вектор и вращает. При этом кватернионы с модулем 1 обращаются тупым аналогом компллексного сопряжения, тем они и удобны в качестве "версоров" .
Работая на плоскости с векторами, нам требуется ввести базовые операции увеличения их длины (модуля) и поворота на определенный угол (остальное само добавится). Всё это успешно даёт сложение и умножение комплексных чисел. Хотелось бы применить такой лайфхак и к работе с векторами в пространстве, но там поворот является суперпозицией поворотов в трех плоскостях (xy, yz, zx). Именно поэтому для 3D удобнее пользоваться числами с тремя "мнимыми" единицами, а это и есть кватернионы.
А кто вам сказал, что один язык исключает другой? Кватернионы удобны тем, что каждый кватернион — это пара комплексных.
