Почему данная функция не дифференцируема
Почему функция y = |x| не дифференцируема в точке x = 0?
мож в 0 нелья однозначно (определенно) нарисовать касательную к графику функции ...
Потому, что не удовлетворяет одному из требований дифференцируемости (пределы отношения Δу/Δх слева и справа не совпадают).
Потому что в этой точке существует бесконечное множество различных касательных к графику функции.
Дифференцируема, но в "другом смысле". Там (в 0) производная имеется, фигура с площадью, а не как прямая. Это вам не преподают, а зря.
Ток не касательных, а опорных.
При x0 = 0 имеем для всякого k из единичного шара (и только оттуда!) неравество для функций:
|x - x0| >= k(x - x0) + |x0|
и потому отрезок [-1, 1] являеься субдифференциалом функции |x| в нуле, субдифференциал - многозначное обобщение производной для выпуклых (в т. ч. негладких) отображений аффинного (в т. ч. бесконечномерного) пррстранства в R.
Проще намного было сказать, что производная справа (+1) и слева (-1) не равны.