Может ли быть несколько базисов в линейном пространтсве?

Question

Может ли быть несколько базисов в линейном пространтсве?

Dobuls 312213 Профи (733), на голосовании 2 года назад

Может ли быть существовать несколько базисов. Например один состоит из 2 векторов, а второй из 5 векторов? Одновременно в одном линейном пространстве. Вроде как да, ведь базис это 1) минимальная линейно независимая система образующих и 2) максимально линейно независимая система векторов

Answer 1

Роман Сергеевич Искусственный Интеллект (191675) 2 года назад

В пространстве n-мерности, может быть только n линейно независимых векторов, т.е. один базис.

Amaxar 777Высший разум (140348) 2 года назад

То есть в двумере я могу взять в качестве базиса (1, 0) и (0, 1), но не могу взять (1, 1) и (1, -1), раз базис единственный?

Роман Сергеевич Искусственный Интеллект (191675) Amaxar 777, а разве от того, что вы его повернете, этот базис становиться каким то другим (хоть и таким же длине и углам как предыдущий)?

Answer 2

Amaxar 777 Высший разум (140348) 2 года назад

Базисов в линейном пространстве бесконечно, и выбор конкретного происходит из соображений удобства. Но размерность базиса равна размерности пространства и никак иначе. Читайте определение базиса.

Павел К. РжовВысший разум (124583) 2 года назад

Все же первично понятие размерности базиса. А размерность пространства определяется и корректна именно в силу обсуждаемого свойства.

Amaxar 777 Высший разум (140348) А это философский вопрос, что первично, нет? Пространство с определенными свойствами уже знает о своей размерности, даже если мы не будем рассматривать его базис.

Answer 3

В n-мерном пространстве линейно независимы могут быть не более чем n векторов, число векторов меньше n не может образовывать базис данного пространства. Т.е. базис n-мерного пространства всегда состоит точно из n векторов. Самих же базисов можно выбрать бесконечное количество.