Елена и Лена это одинаковые имена или как???
Да. Греческое.
По древнегречески звучало примерно как 'элэнэ.
Во время знакомства с греками русских оно звучало примерно как Элэни\Элэна; но к этому времени в русском под влиянием ещё и арабского и булгарского оконцовка женских имён стала на -а. Поэтому вначале стало Элэна. Потом буква "Е" стала читаться не как "э", а как "е"="йэ". Также исказились слова вроде Евангелие, епископ итд.
Елена-это полная форма имени Лена.
Лена это уменьшительно ласкательное от Елены, также как и Алёна. Хотя в современном мире можно Туже Алену записать в паспорт как имя хотя это не само по себе имя. ))
А вот если бы спросить Слава это одно и тоже с Ярославом то возникнет проблема. т.к. Слава уменьшительно как минимум от Ярослав, Изяслав, Гореслав, Владислав, Бореслав, если покопаться то и еще какие нибудь найдутся. )
Да
Вы можете зарегистрировать рождённого под полным именем Лена. Оно и будет отличаться от имени Елена.