Мой вопрос мусульманам: что означают эти слова - БисмиЛляхи Рахмани Рахим, и когда говорящий их произносит?

«Это означает: я начинаю во имя Аллаха. Из лексического анализа этого словосочетания ясно, что подразумеваются все прекрасные имена Всевышнего Господа. Аллах - одно из этих имен, означающее «Бог, Которого обожествляют и Которому поклоняются, Единственный, Кто заслуживает поклонения в силу Своих божественных качеств - качеств совершенства и безупречности». Прекрасные имена Милостивый и Милосердный свидетельствуют о Его великом милосердии, объемлющем всякую вещь и всякую тварь. Милосердия Аллаха в полной мере будут удостоены Его богобоязненные рабы, которые следуют путем Божьих пророков и посланников. А все остальные творения получат лишь часть Божьей милости. Следует знать, что все праведные богословы единодушно говорили о необходимости веры в Аллаха и Его божественные качества. Господь — Милостивый и Милосердный, то есть обладает милосердием, которое проявляется на Его рабах. Все блага и щедроты являются одним из многочисленных проявлений Его милости и сострадания. То же самое можно сказать и об остальных именах Аллаха. Он всеведущ, то есть обладает знанием обо всем сущем. Он всемогущ, то есть обладает могуществом и властен над всякой тварью»
(из толкования (тафсира) Корана).
Эти слова называются басмалей, они произносятся перед началом каждой суры, кроме суры «Покаяние» (ат-Тавба), также с них желательно начинать книги и письма, какую-то речь и т. д. Ещё есть тасмия — просто слова «Бисми-Ллях» (с именем Аллаха, т. е. начинаю с именем Аллаха), они произносятся перед омовением, едой и в некоторых других случаях.
Тут более подробно разъясняется: https://islam.click/velikie-zikry-tasmiya-i-basmalya-hutba-21-01-2022-chast-2/