Турниры. Турнирные таблицы.

Заполните пропуски так, чтобы получилось верное решение.


Условие. В однокруговом футбольном турнире участвовало 15 команд. После завершения турнира оказалось, что некоторые 6 команд набрали хотя бы N очков каждая. Какое наибольшее целое значение может принимать N?


Решение. Назовём эти 6 команд успешными, а остальные 9 команд назовём неуспешными. Назовём игру двух успешных команд внутренней, а игру успешной и неуспешной команды — внешней.


За каждую игру участвующие в ней команды суммарно получают не более 3 очков. Так как внутренних игр было ровно

, то только за такие игры все успешные команды суммарно заработали не более

3 ⋅

=


очков. Внешних игр было ровно

, и в каждой такой игре успешная команда зарабатывала не более 3 очков. Итого за внешние игры все успешные команды суммарно набрали не более

3 ⋅

=


очков. По условию успешные команды суммарно набрали хотя бы 6N очков, поэтому получаем неравенство 6N⩽

. Учитывая, что N является целым числом, из этого неравенства следует, что N⩽

.


Докажем, что эта оценка точная. Для этого приведём пример для N=

. Пронумеруем команды числами от 1 до 15. Покажем, как команды от 1 до 6 могут набрать нужное число очков.


Пусть каждая команда от 1 до 6 выиграла у каждой команды от 7 до 15, тогда только за такие игры каждая команда от 1 до 6 набрала

очков.

Пусть команды от 1 до 6 играли между собой так, как указано в таблице.

1 2 3 4 5 6

1 3 3 1 0 0

2 0 3 3 1 0

3 0 0 3 3 1

4 1 0 0 3 3

5 3 1 0 0 3

6 3 3 1 0 0

Пусть в каждой игре команд от 7 до 15 выиграла команда с большим номером (исход этих игр не имеет значения).

Итого в таком турнире каждая из команд от 1 до 6 набрала ровно ,,, очка.