"Корень уравнения" и "решение уравнения" - в чём разница?

Корень может быть простым, а может быть k-кратным. Корень k-кратности обращает в нуль не только функцию, но и производные до k-1 порядка включительно. Простой корень имеет k=1, т.е. общает в нуль только искомую функцию. Корень k>2 - в этом случае считают, что функция имеет k одинаковых корней. Наверно, это и имел ввиду преподаватель. Графически это выглядит так: функция имеет экстремум в точке касания с осью абцисс. Она на пересекает её, а лишь касается в одной точке - экстремуме, соответственно производная там равна нулю. В частности теорема Гаусса о том, что любой полином степени n имеет ровно n корней выполняется только в том случае, если считать корни кратности больше 1 k раз и считать также все комплексно сопряженные корни. В школе, когда решают квадратное уравнение, при дискриминанте, равном нулю, считают, что у уравнения один корень. Но как же так, получается теорема Гаусса не выпооняется? Как бы не так, этот корень является также точкой экстремума функции, соответственно имеет кратность k=2, и считают, что функция имеет 2 одинаковых корня. В частности это видно при разложении полнинома второй степени a(x-x1)(x-x1)=a(x-x1)^2