Могут ли выселить из квартиры нанимателя, если нет договора социального найма, если он занимает квартиру с 1960 года

Запросто.

Купи гроб и поставь в прихожей
И закажи фото на памятник с его физиономией

Жить в муниципальном жилье без договора социального найма нельзя это не законно. В этом случае и наймодатель, и наниматель нарушают закон.

ЖК РФ Статья 63. Форма договора социального найма жилого помещения
1. Договор социального найма жилого помещения заключается в письменной форме на основании решения о предоставлении жилого помещения жилищного фонда социального использования.

договор соцнайма появился вместе с жилищным кодексом с 1 марта 2005 года. до этой даты заселение осуществлялось по ордерам. если жилое помещение было предоставлено на законных основаниях в 1960 году, то выселить из жилого помещения только потому, что отсутствует на бумаге договор соцнайма нельзя.
Исходя из положений ст. 50, 51, 109 ЖК РСФСР, действовавшего в период вселения, заключение договора найма жилого помещения в письменной форме в обязательном порядке не требовалось. Согласно ст. 47 ЖК РСФСР ордер на жилое помещение являлся основанием для вселения в жилое помещение. Однако отсутствие у гражданина ордера на занятие жилого помещения при фактическом вселении в предоставленное жилое помещение, проживании в нем и исполнении обязанностей нанимателя само по себе не может служить препятствием к возникновению у такого лица права пользования жилым помещением.

На каком основании занимает? Кто выселять собрался?

Не у всех есть договора на руках, раньше ордера достаточно было. В паспортном столе пускай копию возьмет, а потом оформит договор, если на это имеет право