В чём прикладная польза от неопределённого интеграла ?

Ты прав, нету пользы

Расчёт площади сложных поверхностей. Польза есть - это тренировка ума перед более сложными задачами.

Ну прежде всего это упрощение, не думай, что это все усложнено, если бы небыло интеграла, то нам было бы сложно жить. Вообще его можно понимать как операция обратная дифференцированию
На самом деле применений множество, как минимум с помощью интеграла находят объем любой фигуры и ее площадь поверхности(уже путем дифференцирования объема). Также он нужен для выведения множества физических формул, даже силы архимеда, еще(мне удобно) находить интегралом конечную скорость, зная начальную скорость, ускорение и путь

Решение дифуравнений. А последними описываются многие процессы в естественных, и не только, науках.

так с помощью неопределенных интегралов рассчитывается определенный( формула Ньютона-Лейбница), т е площаль под графиком

Ну, как же, ты ж с помощью неопределенного интеграла в школе уже решал одно из самых первых и знаменитых дифференциальных уравнений - второй закон Ньютона с простейшими силовыми членами.
Например, ур-ние равноускоренного движения выводил? Ну или, напнимер, уравнение гармонических колебаний?

Кстати, Исааку Ньютону пришлось придумать диффренеицальное и интегральное исчисление, закон всемирного тяготения и законы Ньютона единой пачкой сразу, у него бы иначе и не получилось

а какого рода выгоду или пользу ищете?


может вы хотели спросить про практическое применение?


http://rateli.ru/books/item/f00/s00/z0000016/st062.shtml

или репетитором работать.

В физике он используется почти что повсюду. Зная зависимость скорости от времени можно найти путь, проходимый телом за это время. Зная зависимость силы которая действует на тело от времени можно найти скорость в определённый момент времени. Если дана нить, по которой определенным образом распределен заряд, можно найти вектор напряженности поля в определенной точке. Аналогично с вектором магнитной индукции для контура определённой формы и так далее. Также без определенного интеграла не обойтись при расчете моментов инерции, от которых зависят законы вращательного движения тел. С помощью интеграла можно найти объем тела, для которого известны только уравнения, описывающие его форму. Ну и еще он вероятно применяется в экономике, но тут я не знаю как именно