Применение 1 и 2 производной к исследованию функции построению графика

Для начала нужно знать основные элементы исследования функции. Стоит заметить, что для исследования той или иной функции в общем случае не требуется применения производной.

Основные элементы: нули функции, промежутки возрастания и убывания (монотонность), точки минимума и максимума (экстремумы). Собственно, из основных элементов - всё. Ещё есть такие элементы как выпуклость/вогнутость, периодичность, асимптоты. Но они не входят в число основных, да и исследование этих элементов требуется в каких-то отдельных случаях. В то время как исследование основных элементов требуется для любой функции.

Для начала стоит заострить внимание на основных элементах исследования.

Самое банальное здесь, это нули функции - все точки, в которых значение функции равно нулю. А вот с промежутками возрастания и убывания и экстремумами дело обстоит немного сложнее. Здесь лучше сразу рассмотреть пример.

y=(x-5)^2-2

Точки (значения "х") в которых функция обращается в нуль здесь задаются уравнением (x-5)^2-2=0 <=> (x-5)^2=2.

Здесь можно выделить два промежутка (-∞;5] и [5;+∞). На первом промежутке график функции как бы регистрирует "спад". На этом промежутке какие бы два значения x1,x2 ни взять (x1>x2), в точке x1 (с большим значением) будет меньшее значение функции.

То что это обстоятельство верно для любых x∈(-∞;5] и говорит нам о том, что на этом промежутке функция убывает. Обратное происходит на промежутке [5;+∞) - здесь большему значению аргумента соответствует больше значение функции, соответственно на графике регистрируется "подъём". А точка x=5 является точкой перехода с убывания на возрастание функции. Это обстоятельство - необходимое и достаточное для того, чтобы сказать, что x=5 - точка экстремума функции (а конкретно минимума, так как переход с убывания на возрастание, а не наоборот). А самим экстремумом (минимумом) называется значение функции в точке минимума, т.е. y(5)=-2 - минимум функции.

Подытожим вышесказанное: промежутку, на котором функция возрастает, на графике соответствует какая-либо из частей где регистрируется "подъём". Обратно - промежутку на котором функция убывает, на графике соответствует какая-либо из частей где регистрируется "спад". А точки минимума/максимума лишь точки перехода соответственно с убывания на возрастание (случай минимума) либо с возрастания на убывание (случай максимума). Таким образом эти элементы и применяются при построении графиков функций. Чтобы более точно изобразить те части графика функции, в которых функция, например, возрастает, нужно взять как можно больше точек из промежутка возрастания и соединить их плавной линией. Такая же ситуация и с промежутками убывания функции.

Так к чему же в конечном итоге сводится исследование? Во-первых найти все нули функции, во вторых все промежутки, где функция возрастает/убывает, и соответствующие этим промежуткам экстремумы (минимумы либо максимумы).

Другой вопрос - вопрос касаемо методов отыскания всех этих элементов. Многие функции можно исследовать без применения производной, но для большинства функций это остаётся невозможным или трудновыполнимым. Применение производных - наиболее эффективный метод для исследования функций, а затем и построения графика на основе этого исследования. А что нам говорят производные по поводу основных элементов исследования?

Если функция (непрерывная на промежутке) возрастает/убывает на некотором промежутке I, то в каждой точке этого промежутка значение первой производной больше/меньше нуля. Так, в точке перехода х0 через возрастание к убыванию (и наоборот) значение производная функции обязывается быть равным нулю.

Однако равенства производной нулю в какой-то точке недостаточно, чтобы сказать, что эта точка х0 является точкой экстремума функции.