Mail.ruПочтаМой МирОдноклассникиВКонтактеИгрыЗнакомстваНовостиПоискОблакоVK ComboВсе проекты

Дима написал на доске 70 различных натуральных чисел (см). Как решить?

XSHOT Ученик (214), закрыт 2 месяца назад
Задача из олимпиады для 7 классов по математике. Дима написал на доске 70 различных натуральных чисел. Затем он некоторые числа умножил на 2, некоторые на 3, а остальные на 5. Какое наименьшее количество различных чисел может быть среди 70 результатов?
Лучший ответ
Noname Гений (69631) 3 месяца назад
Докажем, что не существует 4 различных натуральных чисел, которые можно умножить на 2,3,5 таким образом, чтобы получилось одно и то же число.
Для этого предположим что нашлись такие различные числа a,b,c,d, которые при умножении дают одно и то же число N. Если нашлись, то для трех из этих чисел (например a,b,c, можно взять другие, результат будет тот же) должно выполняться N=a*2, N=b*3, N=c*5. Если четвертое число d было умножено на 2, то в этом случае d*2=N=a*2, и a=d, а мы рассматриваем предположение, когда все числа a,b,c,d различны. Аналогично если d*3=N, то d=b и если d*5=N, то d=c. По методу от противного, не существует 4 различных натуральных чисел, которые при умножении на 2,3,5 дают одно и то же число. Не существует и более четырех таких чисел, потому что среди них найдется четыре, а четыре не могут существовать.
Зато существуют три таких числа. Например 6 (2*3), 10 (2*5), 15 (3*5). 6*5=10*3=15*2=30. Таких чисел бесконечно много. 6, 10, 15; 12, 20, 30; 24, 40, 60 и т.д., просто умножаем предыдущую тройку чисел на 2.
Вывод: для натурального числа можно найти максимум 3 числа, которые после умножения на 2,3,5 дадут это число.
Ну и далее, Дима пишет 70 чисел: (6, 10, 15); (12, 20, 30); (24, 40, 60)... Каждые 3 подряд идущие числа при умножении дают одно и то же число. Итого 3*23=69 чисел, которые после умножения преобразуются в различных 23 числа. Ну и остается 70-69 = 1 число, которе не входит ни в какую тройку, и из него будет получено отдельное от предыдующих 23 чисел число. 23+1=24 различных числа.
Если бы Дима брал не по 3, а под 2 числа, которые дают одно и то же, то получил бы 70/2=35 различных чисел, а по условию требуется наименьшее количество.
Ирина Ученик (140) 3 месяца назад
т.е. 24-это правильно, верно?
Noname Гений (69631) Ирина , правильно и верно
Остальные ответы
Ирина Ученик (140) 3 месяца назад
Всем здравствуйте! А можно, пожалуйста, объяснение, как получилось 24?
Похожие вопросы