В чем разница между румбом и азимутом?

Румб - слово многозначное, и в одном из значений примерно совпадает со словом азимут. Поясняю.
Азимут - горизонтальный угол между направлением местного меридиана на север и направлением на какой-то предмет.
Румб - это, прежде всего, 1/32 часть деления картушки компаса. Это сейчас его делят на 360 градусов, в старину подобной точности не знали, картушка делилась всего на 32 части. То есть румб в этом значении - угол на компасе в 11,25 градуса.
Поскольку 32 деления - это вам не 360, каждый из румбов имел свое название. Четыре основных - север, юг, запад, восток, потом 4 промежуточных - северо-запад, юго-запад, юго-восток и северо-восток. Названия всех прочих перечислять не буду, если интересно, смотрите здесь:
https://otvet.mail.ru/question/14844002
Так вот, нынче рулевому задают курс в градусах, и он удерживает на этом курсе судно. Капитан или вахтенный штурман могут время от времени задавать вопрос: "На курсе?" и вахтенный должен точно отрапортовать, на какой угол от северного направления смотрит в данный момент нос корабля (например, 33,75).
Раньше в подобной ситуации у вахтенного спрашивали: "На румбе?" - а он в ответ произносил название румба. Если судно шло современным курсом 33,75, то русский рулевой ответил бы "Северо-восток-тень-север", а англоязычный - "North-East-by-North"