Почему ямщик не копает ямы?

Потому что он ямит. Правит животным.
Ямить - это управлять кобылой, ослом, волом, либо другим животным, являющимся вьючным, и способным к труду. (Лида, Кунашир. Привет Беларуси!)

Считается, что более уместно использовать это слово, когда речь идёт о перевозке грузов на животных. Но оно также применимо (реже) и к пахотным работам. Пример:
"Ямили на козе, ако Нюшу забрали в рату!".. - пахали поле на козе, потому что лошадь мобилизовали.