Найдите длину вектора v = ( − 2; 3; 3), координаты которого заданы в некотором базисе (e1,e2,e3), что e1=3, e2=3, e3=2
Найдите длину вектора v = ( − 2; 3; 3), координаты которого заданы в
некотором базисе (e1,e2,e3), и известно, что e1=3, e2=3, e3=2, (e1,e2)=0, (e1,e3)=1, (e2,e3)=0
Нужно найти значение (v, v)^(1/2), где (·, ·) --- скалярное произведение.
Вообще говоря, для произвольного вектора v = (a1, a2, a3) относительно базиса e1, e2, e3 имеет место (v, v) = (a1e1 + a2e2 + a3e3, a1e1 + a2e2 + a3e3) = a1^2*(e1, e1) + a2^2*(e2, e2) + a3^2*(e3, e3) + 2a1a2*(e1, e2) + 2a1a3*(e1, e3) + 2a2a3*(e2, e3) (так можно сделать из-за билинейности скалярного произведения, здесь евклидово пространство). Обратите внимание, что в случае ортонормированного базиса получалось бы (v, v) = a1^2 + a2^2 + a3^2.
По условию знаем, что (e1, e1) = 9, (e2, e2) = 9, (e3, e3) = 4, (e1, e2) = 0, (e1, e3) = 1, (e2, e3) = 0, (a1, a2, a3) = (-2, 3, 3), поэтому (v, v) = 4*9 + 9*9 + 9*4 + 2*(-6) = 141, а |v| = 141^(1/2).