Доказать что множество всех многочленов в n ой степени от х с рациональными коэффициентами счетно

Для начала, есть очевидная биекция множества всех многочленов n-ой степени от х с рациональными коэффициентами (обозначу его как Qₙ[x]) и множества всех упорядоченных наборов рациональных чисел длины n (обозначу ℚⁿ): при ней многочлен вида Q(x) = q₀ + q₁ x + q₂ x² + ... + qₙxⁿ перейдет в n-мерный рациональный вектор Q' = (q₀, q₁, ..., qₙ)

Qₙ[x] ↔ ℚⁿ

На самом деле, это даже изоморфизм векторных пространств, но прямо сейчас хватит просто биективности. Отсюда по определению мощности множества имеем

|Qₙ[x]| = |ℚⁿ|

То есть Qₙ[x] и ℚⁿ равномощны, потому что нашлась биекция между ними. А ℚⁿ, в свою очередь, счетно как конечное объединение счетных множеств (была такая теорема), так как ℚⁿ фактически представляет собой n наборов по ℚ. А тогда получается
|Qₙ[x]| = |ℚⁿ| = |ℕ| ⇒ Qₙ[x] счетно