Пусть A и B - множества из области определения f(x). Доказать, что f(A ∪ B)=f(A) ∪ f(B).

1)
Пусть y ∈ f(A)⋃f(B), тогда y ∈ f(A) и/или y ∈ f(B).
Если y ∈ f(A), то ∃ x ∈ A ⊂ A⋃B : f(x) = y
Если y ∈ f(B), то ∃ x ∈ B ⊂ A⋃B: f(x) = y
То есть ∀ y ∈ f(A)⋃f(B) ∃ x ∈ A⋃B : f(x) = y
или: ∀ y ∈ f(A)⋃f(B) ⇒ y ∈ f(A⋃B)
или: f(A)⋃f(B) ⊂ f(A⋃B)
2)
Пусть x ∈ A⋃B, тогда x ∈ A и/или x ∈ B.
Если x ∈ A, то f(x) ∈ f(A) ⊂ f(A)⋃f(B)
Если x ∈ B, то f(x) ∈ f(B) ⊂ f(A)⋃f(B)
То есть x ∈ A⋃B ⇒ f(x) ∈ f(A)⋃f(B)
или: f(A⋃B) ⊂ f(A)⋃f(B)
-
Получили:
f(A)⋃f(B) ⊂ f(A⋃B)
f(A⋃B) ⊂ f(A)⋃f(B)
значит:
f(A⋃B) = f(A)⋃f(B)