В ряду чисел 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,...,201,201,...,201 каждое число n встречается ровно n раз для всех 1⩽n⩽201. Выберем в
В ряду чисел
1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,...,201,201,...,201
каждое число n встречается ровно n раз для всех 1⩽n⩽201. Выберем в этом ряду такое число, слева и справа от которого чисел поровну.
Общее количество чисел равно 1 + 2 + 3 + … + 201.
Это арифметическая прогрессия от 1 до 201 с шагом 1.
Сумма ее элементов равна (1 + 201) • 201 / 2 = 202 • 201 / 2 = 101 • 201 = 20301.
Итак, в нашем исходном ряду 20301 число.
Нужно выбрать то, которое в середине ряда.
Какой у него порядковый номер в ряду?
Если бы чисел было 5, то мы бы поделили 5 / 2 = 2,5 и округлили вверх, чтобы получить 3. Ведь третье число из пяти реально находится посередине.
Но у нас 20301 число.
20301 / 2 = 10150,5
Округляем вверх и получаем, что среднее число в ряду стоит на позиции 10151.
Как узнать значение этого числа?
Рассмотрим более очевидный пример: найти значение числа под номером 8.
Нам известно, что в выборке чисел от 1 до 3 всего 1 + 2 + 3 = 6 чисел.
А в выборке чисел от 1 до 4 всего 1 + 2 + 3 + 4 = 10 чисел.
Число под номером 8 не относится к первой выборке, но относится ко второй.
То есть число под номером 8 — это не 1, 2 или 3, но это 4.
Вот и ответ! Число под номером 8 равно 4.
А что с числом под номером 10151?
Предположим, что есть некоторая прогрессия от 1 до N, в которой сумма элементов близка к 10151. Нам нужно найти N.
Сумма арифметической прогрессии:
S(N) = (1 + N) • N / 2 = 10151
(1 + N) • N = 20302
N + N² = 20302
N² + N − 20302 = 0
Это квадратное уравнение. a = 1, b = 1, c = −20302
Дискриминант:
D = b² − 4ac = 1² − 4 • 1 • (−20302) = 1 + 81208 = 81209 > 0
ѴD ≈ 284,97
N1 = (−b − ѴD) / 2a = (−1 − 284,97) / 2 = −142,985
N2 = (−b + ѴD) / 2a = (−1 + 284,97) / 2 = 141,985
Нам подойдет положительный ответ: N2 = 141,985.
Возьмем два ближайших к нему целых значения: N = 141, N = 142.
Сколько в нашем ряду чисел от 1 до 141 и от 1 до 142?
S(141) = (1 + 141) • 141 / 2 = 142 • 141 / 2 = 71 • 141 = 10011
S(142) = (1 + 142) • 142 / 2 = 143 • 142 / 2 = 143 • 71 = 10153
Итак, мы видим, что в выборке от 1 до 141 всего 10011 чисел.
Значит, число под номером 10151 в нее не входит.
А в выборке от 1 до 142 всего 10153 числа.
Значит, наше число под номером 10151 входит в нее.
То есть это число 142.
Ответ: среднее число в ряду имеет порядковый номер 10151 и равно 142.