Решите задачу путкеьрпшцекпшщрцкехъ
На клавиатуре компьютера не работает клавиша с цифрой 1. Например, если попытаться напечатать число 1231234, то пропечатается только число 23234. Саша попытался напечатать 8‑значное число, но пропечаталось только 202020. Сколько существует 8‑значных чисел, подходящих под это условие?
Нахрен уроки. Лучше иди в гараж собирать Panzerkampwagen IV
Решение
Что произошло с числом?
При неисправной клавише «1» каждая цифра 1 просто исчезает из набираемого числа.
Саша хотел набрать 8‑значное число, а на экране мы видим лишь 202020 (6 цифр).
Значит, из исходных 8 цифр исчезло ровно 2 цифры 1.Фиксируем «каркас» без единиц
Если убрать все единицы, остаётся цепочка2 0 2 0 2 0. 2\,0\,2\,0\,2\,0.
Эти шесть цифр должны идти именно в таком порядке.
Куда вставлять две единицы?
Между (и по краям) этих шести цифр есть 7 «щелей»:2 0 2 0 2 0 \boxed{\;}\,2\,\boxed{\;}\,0\,\boxed{\;}\,2\,\boxed{\;}\,0\,\boxed{\;}\,2\,\boxed{\;}\,0\,\boxed{\;}
В эти 7 щелей нужно расставить две одинаковые единицы.
Подсчитаем варианты
Это задача «звёзды и палочки» («комбинаторика размещения с повторениями»): количество способов поместить k=2k=2 неразличимых предметов в n=7n=7 ячеек равно(n+k−1k) = (7+2−12) = (82) = 28. \binom{n + k - 1}{k} \;=\; \binom{7 + 2 - 1}{2} \;=\; \binom{8}{2} \;=\; 28.
Эквивалентно можно разбить так:
обе единицы в одном и том же месте — 7 вариантов;
единицы в двух разных местах — (72)=21\binom{7}{2}=21 вариант;
итого 7+21=287 + 21 = 28.
Проверка ограничения на первую цифру
Первая цифра получаемого 8‑значного числа будет либо 2 (если никакая 1 не вставлена перед первым 2), либо 1 (если вставлена). В любом случае она не равна 0, так что всё корректно.
Ответ: 28 чисел.