Я перехожу с одного оператора на другого с сохранением номера. Сохранятся ли номера телефонов людей на новом операторе?

Сохранятся.

Номера телефонной книги могут храниться как на телефоне, так и в сим-карты и все зависит от того, где Вы их храните

Перемести номера с симки в память тела или в облако, и спи спокойно

Тебе новую симку далут. Если твои номера сейчас на твоей симке, естественно при смене симки ничего не останется. Перенеси номера в память телефона и все будет