Где используются математические числовые прямые(числовые промежутки)?

Именно числовые промежутки? Если говорить о числовых промежутках, то они используются лишь как способ описания какого-либо множества чисел, когда это требуется.

Множества чисел также можно описать, например, с помощью неравенств - например
x > 5 (любые такие числа, которые больше 5) или 2 < x < 3 (любые такие числа, большие 2, но меньшие 3). Под множествами чисел мы понимаем и разные промежутки. Например [-6;4); (-2;+∞). Первому промежутку удовлетворяют любые числа от -6 (включая это число) до 4 (не включая его).
Второму - большие -2 (не включая это число).

Если мы положим за "х" число, которое будет входить, например, в промежуток (-2;+∞), то любые такое число (какое бы ни взяли) будет являться решением неравенства x > -2.

Таким образом одно и то же множество (какое-угодно) может быть описано как числовым промежутком, так и в виде неравенства. То есть имеет значение использование в математике не конкретно промежутков, а именно множеств.
(потому что промежутки служат лишь для описания множеств)

Вопрос встаёт иначе - зачем нужны множества? Множества требуются как раз, чтобы описывать такие случаи, когда необходимо рассматривать бесконечно много чисел.

А когда, например, возникает такая ситуация?
Рассмотрим самую простейшую ситуацию: Дано некоторое число. Это число возвели во вторую степень, и при этом получили результат, больший нуля. Нужно выяснить, какое число было задано изначально.
Вот пример, когда у нас имеется бесконечно много вариантов для первоначально взятого числа, чтобы происходила описываемая ситуация.

Те варианты чисел, при которых это происходит, описываются так называемыми множествами, в виде тех же числовых промежутков либо неравенств (если брать изначально взятое число за "х"). Можно записать как в виде x > 0, так и в виде
x∈(0;+∞), если мы обозначим изначально взятое число за "х".
∈ - знак принадлежности множеству.

Начиная с таких простых ситуаций, рассматривая далее всё более и более сложные, и строится математика.

А здесь можно увидеть каким именно образом представляются одни и те же множества в виде промежутков и неравенств: