Упростите выражение. Алгебра 8 класс.

13.39

Давайте разберёмся!

Дано выражение:
(2a² + 2)/(a² – 1) – (a+1)/(a–1) + (3a – 3)/(2a + 2).

Зная, что a² – b² = (a – b)(a + b), раскладываем выражение a² – 1 на множители:
(2a² + 2)/((a – 1) × (a+1)) – (a+1)/(a–1) + (3a – 3)/(2a + 2).

Общий множитель 2 выносим за скобки:
(2a² + 2)/((a – 1) × (a+1)) – (a+1)/(a–1) + (3a – 3)/(2(a + 1)).

Все числители записываем над наименьшим общим знаменателем [в нашем случае — над 2(a – 1) × (a + 1)]:
(2(2a² + 2) – 2(a + 1)² + (a – 1) × (3a – 3))/(2(a – 1) × (a + 1)).

Распределим 2 через скобки. Получим:
(4a² + 4 – 2(a + 1)² + (a – 1) × (3a – 3))/(2(a – 1) × (a + 1)).

Как известно, (a + b)² = a² + 2ab + b², а значит, выражение (a + 1)² можно записать в развёрнутом виде. Имеем:
(4a² + 4 – 2(a² + 2a + 1) + (a – 1) × (3a – 3))/(2(a – 1) × (a + 1)).

Общий множитель 3 также выносим за скобки:
(4a² + 4 – 2(a² + 2a + 1) + (a – 1) × 3(a – 1))/(2(a – 1) × (a + 1)).

–2 распределяем через скобки:
(4a² + 4 – 2a² – 4a – 2 + (a – 1) × 3(a – 1))/(2(a – 1) × (a + 1)).

Множитель a – 1 повторяется 2 раза,
следовательно основание — a – 1, показатель степени — 2:
(4a² + 4 – 2a² – 4a – 2 + (a – 1)² × 3)/(2(a – 1) × (a + 1)).

Чтобы изменить порядок членов, используем переместительный закон:
(4a² + 4 – 2a² – 4a – 2 + 3(a – 1)²)/(2(a – 1) × (a + 1)).

Зная, что (a – b)² = a² – 2ab + b², запишем выражение (a – 1)² в развёрнутом виде:
(4a² + 4 – 2a² – 4a – 2 + 3(a² – 2a + 1))/(2(a – 1) × (a + 1)).

3 также распределяем через скобки:
(4a² + 4 – 2a² – 4a – 2 + 3a² – 6a + 3)/(2(a – 1) × (a + 1)).

Приводим подобные:
(5a² + 5 – 10a)/(2(a – 1) × (a + 1)).

Общий множитель 5 вынесем за скобки. Получим:
(5(a² + 1 – 2a))/(2(a – 1) × (a + 1)).

Чтобы изменить порядок членов, вновь используем переместительный закон:
(5(a² – 2a + 1))/(2(a – 1) × (a + 1)).

Используя a² – 2ab + b² = (a – b)², раскладываем выражение a² – 2a + 1 на множители:
(5(a – 1)²)/(2(a – 1) × (a + 1)).

Сократим на общий делитель a – 1:
(5(a – 1))/(2(a + 1)).

5 распределяем через скобки:
(5a – 5)/(2(a + 1)).

Наконец, распределим 2 через скобки. Получим:
(5a – 5)/(2a + 2).

Сделано!