Как понять, что производная непрерывна? У какой функции нельзя взять производную?

Производная непрерывна тогда, когда у нее нет точек разрыва.
Например, первая производная функции f(x) = lnx, f'(x) = 1/х, не является непрерывной на всей своей области определения (в точке x = 0 она терпит разрыв II рода).