Можно ли по закону уволить работника, если у него нет высшего образования, но он занимал эту должность?

Конечно, администрация обязана соблюдать отраслевые стандарты. Но вопросы освобождения от должности или увольнения должны соответствовать Трудовому кодексу. На что должен опираться работник, если не согласен с таким решением?
"Ст. 12 ТК: Закон или иной нормативный правовой акт, содержащий нормы трудового права, не имеет обратной силы и применяется к отношениям, возникшим после введения его в действие."
Но требования к квалификации работника также оговариваются в ст. 195 ТК, в ч. 3-й оговаривается порядок применения профессиональных стандартов, на что будет ссылаться работодатель.
ТК РФ Статья 195.3. Порядок применения профессиональных стандартов

"Если настоящим Кодексом, другими федеральными законами, иными нормативными правовыми актами Российской Федерации установлены требования к квалификации, необходимой работнику для выполнения определенной трудовой функции, профессиональные стандарты в части указанных требований обязательны для применения работодателями."...

Если применение этой статьи к претендующим на должность не вызывает сомнений, то ухудшение положения работника, квалификация которого соответствовала прежним стандартам, но не соответствует новым, вопросы вызывает.
И Верховный Суд неоднократно высказывался по правоприменительной практике различных правовых актов к юридически значимым отношениям, возникшим до вступления их в силу.
В частности, по этой статье было вынесено постановление КС РФ от 14.11.2018 N 41-П
"Нельзя уволить работника (например, педагога) по п. 13 ч. 1 ст. 83 ТК РФ, если до введения профстандарта с ограничениями по должности он соответствовал квалификационным требованиям"