Как правильно пишется. Помогите пожалуйста. В назначенный день (в)тайне они встречаются у реки

Правильно слитное написание. Наречие втайне (то же, что тайно) пишется слитно. Раздельно пишется сочетание предлога с существительным в тайне, ср.: сохранить план в тайне.
В назначенный день они тайно встречались у реки или решили тайно встретиться у реки.