Фамилии Горепёкин и Горепекин одинаковые?

Она обещала вернутся

Не знаю

Ничего страшного...
Е и Ё взаимозаменяемые буквы...

ну, для кого-то, может быть и одинаковые, а , например, при оформлении пособий или наследства, разные. одинаково должно быть во всех личных документах и одинаково с родителями и детьми. либо у всех везде Ё, либо - Е.

Может и нет.
Так же как ИвАновы и
ИванОвы

Это разные фамилии. Вы должны срочно вернуть неправильный документ и потребовать, чтобы вам оформили паспорт, где фамилия соответствует фамилии в предыдущем паспорте, иначе у вас будут проблемы. Все ваши документы станут недействительными.

В 1934 году ребенку выдали в сельсовете свидетельство о рождении, где указаны мать и отец под одной фамилией, но родители в браке не были, фамилия была у каждого своя. Получается, что есть отец, а матерью записан несуществующий человек.

Могут появиться проблемы. У знакомых при вступлении в наследство, пришлось через суд доказывать свои права.
Требуй замены

Правильным является то, что записано в свидетельстве о рождении.

да, но разные