Как найти матрицы поворота?
Есть у меня абстрактное линейное пространство. В нем задан стандартный базис. В этом базисе задано скалярное произведение матрицей Грама. Норма вектора как обычно задана через скалярное произведение:
(a, a) = |a|²
Угол между векторами задан через скалярное произведение:
(a, b) = |a| |b| cos(ф)
И как мне для этого пространства в заданном базисе найти матрицы поворотов на произвольные углы отн-но произвольных осей? Я попробовал написать соотношения для матриц поворота R на угол ф отн-но оси вдоль произвольного вектора z:
(R x, R x) = (x, x)
(R z, z) = (z, z)
(R x, x) = cos(ф) (x, x), при (x, z) = 0
но че-то тут треш какой-то получается. Может, надо это провернуть через групповые свойства вращения (правдами-неправдами получить генератор, а потом уже восстановить оператор поворота через уравнение Ли)?...
В общем, вопрос: как это все проделать, или что на эту тему почитать?
Нууууу ващеее загнуууул... прям "забатанировал" :-)))))))))))))))))))))))))))))))
Вики всё есть. Это тебе надо в высшие "школы" с таким вопросом, в надежде получить хоть немного вразумительного ответа.
вам надо найти связь между направляющими косинусами в исходной системе координат и в повернутой. Правильно ли я поняла ваш вопрос?
эта связь, конечно, известна и есть в учебниках.
вот это я нашла в интернете...(в принципе понятно)
там с - cos и s -sin
Здесь на умные вопросы не отвечают. Ищи другое место)
Только без формул, они не формтаируются:
Каждый базисный вектор новой системы координат надо разложить по векторам старого базиса:
Найдём коэффициенты! Умножим скалярно каждое разложение на соответствующий новый вектор, (который слева), используя свойство дистрибутивности скалярного произведения:
Так как векторы единичные, то скалярные произведения слева будут равны единице
Преобразуем правые части:
Очевидно, равенство будет выполнено, если a_11=cosφ=i ⃗,i ⃗'; a_21=sinφ=j ⃗,i ⃗'; a_12=-sinφ=i ⃗, j ⃗'; a_22=cosφ=j ⃗,j ⃗'.
Составим матрицу коэффициентов, учитывая, что каждый вектор в матрице записан в столбец:
Такую матрицу, по которой старый базис переходит в новый, называют матрицей прямого перехода и обозначают буквой S.
Мы нашли, что матрица S прямого перехода состоит из следующих элементов
Чтобы вернуться от нового базиса к старому, надо решить матричное уравнение . Решив его, находим формулу обратного перехода с матрицей T=S^(-1)
Объекты, которые при переходе к другой системе координат подчиняются тем же формулам, что и базисные векторы, называют ковариантными, т.е. дословно «по базису».
Возьмём вектор, имеющий разложение в старом базисе
Какими станут его координаты, если мы перейдём к новому базису? Давайте заменим базисные векторы по формуле, используя свойство дистрибутивности, получим:
Выходит, чтобы получить координаты вектора в новой системе координат, его надо умножить на матрицу обратного перехода! Решив матричное уравнение, находим, формулу с матрицей S=T^(-1). То есть для вектора переходы в другую систему координат идут по противоположным законам, чем для базисных векторов. Поэтому векторы и другие объекты, ведущие себя так при переходах, называют контравариантными, т.е. дословно «противоположно базису».
В о п р о с. А как повернуть вектор в существующей системе координат?
О т в е т. Пользуясь теми же формулами, но оставаясь в той же системе координат. Полученные после преобразования координаты будут координатами повернутого вектора. Матрицу перехода в таком случае называют матрицей поворота.
не надо было терять!