Как найти матрицы поворота?

не надо было терять!

Только без формул, они не формтаируются:
Каждый базисный вектор новой системы координат надо разложить по векторам старого базиса:

Найдём коэффициенты! Умножим скалярно каждое разложение на соответствующий новый вектор, (который слева), используя свойство дистрибутивности скалярного произведения:

Так как векторы единичные, то скалярные произведения слева будут равны единице

Преобразуем правые части:

Очевидно, равенство будет выполнено, если a_11=cos⁡φ=i ⃗,i ⃗'; a_21=sin⁡φ=j ⃗,i ⃗'; a_12=-sin⁡φ=i ⃗, j ⃗'; a_22=cos⁡φ=j ⃗,j ⃗'.
Составим матрицу коэффициентов, учитывая, что каждый вектор в матрице записан в столбец:

Такую матрицу, по которой старый базис переходит в новый, называют матрицей прямого перехода и обозначают буквой S.
Мы нашли, что матрица S прямого перехода состоит из следующих элементов


Чтобы вернуться от нового базиса к старому, надо решить матричное уравнение . Решив его, находим формулу обратного перехода с матрицей T=S^(-1)

Объекты, которые при переходе к другой системе координат подчиняются тем же формулам, что и базисные векторы, называют ковариантными, т.е. дословно «по базису».
Возьмём вектор, имеющий разложение в старом базисе

Какими станут его координаты, если мы перейдём к новому базису? Давайте заменим базисные векторы по формуле, используя свойство дистрибутивности, получим:

Выходит, чтобы получить координаты вектора в новой системе координат, его надо умножить на матрицу обратного перехода! Решив матричное уравнение, находим, формулу с матрицей S=T^(-1). То есть для вектора переходы в другую систему координат идут по противоположным законам, чем для базисных векторов. Поэтому векторы и другие объекты, ведущие себя так при переходах, называют контравариантными, т.е. дословно «противоположно базису».

В о п р о с. А как повернуть вектор в существующей системе координат?
О т в е т. Пользуясь теми же формулами, но оставаясь в той же системе координат. Полученные после преобразования координаты будут координатами повернутого вектора. Матрицу перехода в таком случае называют матрицей поворота.

Здесь на умные вопросы не отвечают. Ищи другое место)

вам надо найти связь между направляющими косинусами в исходной системе координат и в повернутой. Правильно ли я поняла ваш вопрос?
эта связь, конечно, известна и есть в учебниках.
вот это я нашла в интернете...(в принципе понятно)
там с - cos и s -sin