Можно ли добавить к своему имя второе имя? (официально, в документах)

Да можно. Законодательно регулирование вопросов имени зафиксировано в Гражданском кодексе, который определяет, что имя гражданина РФ, который является физическим лицом, состоит из фамилии, собственного имени и отчества. В России вторым именем уже как бы является отчество. Но и удвоить его никто не запрещает.

У меня двойное имя Матвей Тимофей

это католический вариант..у них два дня рождения и два имени.

Да хоть десять имён, как у падишаха.

Нет, Анна-Мария через дефис - это одно имя, будет уже процедура изменение имени.
Второе добавляют просто Анна Мария.

интересно - зачем? все равно будут машкой звать, или анькой.

прошение случайно не надо писать прошу вас и тд и тп