let str = prompt('Введите что-нибудь');
console.log(typeof str); // string
Только этот код буквально в таком виде не имеет смысла, потому что типом всегда будет строка или объект (если нажата кнопка отмены). Чтобы этого не было, нужно делать проверки содержимого и преобразование вручную.
Типа такого или около того хотя бы...
let str = prompt('Введите что-нибудь');
if (str === null || str === '') str = undefined;
else if (isNaN(str) === false) str = Number(str);
else str = String(str);
console.log(typeof str);