Вопрос по алгебраическим структурам

Доказывая, определена ли бинарная алгебраическая операция на множестве, можно ли брать два раза одно и то же число из множества? Например, в одной из задач есть множество {-1,1}, в ней доказывается, что умножение на данном множестве определено и является бинарной алгебраической операцией, приводятся примеры умножения 1 на 1 и -1 на -1. Получается, можно также сделать и со сложением, которое будет в результате не определено на данном множестве (1+1=2)? И в других задачах, где даны множества вроде {a+b*sqrt(3) |a,b - рациональные), на место a и b можно подставлять одно и то же число, например, 1, чтобы получить 1+sqrt(3)? Вопрос возник из-за того, что в одном из определений бинарной алгебраической операции говорится, что если по некоторому закону двум элементам множества, заданным в определённом порядке поставлен в соответствие элемент того же множества, то говорят, что задана б.а.о. Возникает мысль, что элемент ставится в соответствие именно двум различным элементам множества, что противоречит решениям