Какую роль в экономике стран и их финансовом процветании играют банки?

роли разные, могут быть... в большей части зависит от существующей в конкретной стране банковской системы.
Могут производить эмиссию внутренней (и не только) валюты, осуществлять учетные и контрольные функции по движению финансовых средств и капиталов, заниматься обслуживанием организаций и населения в части финансов, и т.д. и т.п.

сразу надо уточнить каких стран. В экономиках развитых стран - первостепенную, в случае нашей - скорее отрицательную

Банки предоставляют финансовые услуги в виде кредитов и депозитов